Упругопластическое поведение массива горных пород
Рис. 4.1.1
Расчётная схема
| Геометрия | ||
| d = 25 м | высота образца | |
| b = 25 м | ширина образца | |
| r = 2 м | радиус отверстия | |
| R = 5 м | радиус зоны измельчения сетки конечных элементов |
Свойства материалов
| № | Параметр | Значение | Наименование | |
| 1 | γ | 0 кН/м³ | удельный вес | |
| 2 | Erm | 5 700 000 кН/м² | модуль упругости скального массива | |
| 3 | ν | 0,3 | коэффициент Пуассона | |
| 4 | mi | 10 кН/м² | параметр ненарушенной горной породы | |
| 5 | GSI | 50 | геологический индекс прочности | |
| 6 | D | 0 | параметр нарушенности (возмущения) | |
| 7 | σci | 30 000 кН/м² | прочность ненарушенного образца на одноосное сжатие | |
| 8 | σψ | 0 кН/м² | величина обжатия при отсутствии дилатансии | |
| 9 | ψmax | 0 град. | максимальный угол дилатансии | |
| 10 | K0 | 0,5 | коэффициент бокового давления в состоянии покоя |
Расчётные случаи и нагрузки
| Расчётный случай | Описание | |
| 1 | только изотропное сжатие образца | |
| 2 | создание дополнительного давления внутри отверстия (p= −2500 кПа) |
Рис. 4.1.2
Фрагмент модели: задание давления внутри круглого отверстия в виде линейной нагрузки
Глобальные деформационные граничные условия
| Граница | Наименование | |
| Верхняя | свободная | |
| Правая | свободная | |
| Нижняя | закреплённая по вертикали | |
| Левая | закреплённая по горизонтали |
Сетка конечных элементов
| Параметр | Значение | |
| Крупность сетки | крупная; локально измельчена кольцевая зона радиусом R = 5 м (коэффициент 0,1) | |
| Порядок элементов | 2, шестиузловые треугольные | |
| Средний размер элементов | 1,5 | |
| Оптимизация сетки | отключена |
Стадии и типы расчётов
На начальной стадии используется K0-расчёт. На следующих стадиях активируются нагрузки на правой и верхней границах модели: сначала грунт подвергается изотропному сжатию, а затем создается отверстие (деактивируется соответствующий кластер).
Искомые параметры – радиусы пластической зоны R1 и R2 для 1 и 2 расчётных случаев.
| Стадия | Описание | |
| Стадия 0 (начальная) | расчет напряжений по К0 | |
| Стадия 1 | расчет НДС (изотропное сжатие) | |
| Стадия 2 | расчет НДС с отверстием | |
| Стадия 3 | расчет НДС с отверстием и созданием внутри него дополнительного сжимающего давления |
Эталонное решение
Для определения прочности на сдвиг ненарушенной горной породы используется критерий разрушения Хука-Брауна (Hoek & Brown, 1980). Его обобщённая форма имеет вид:
σ_1 = σ_3 + σ_ci ∙ (m_b ∙ (σ_3 / σ_ci) + S)^α (4.1.1)
где σ_1 и σ_3 – главные напряжения, а σ_ci – прочность ненарушенного образца на одноосное сжатие.
Коэффициенты m_b, S и α определяются следующим образом (Hoek, Carranza-Torres & Corkum, 2002):
m_b = m_i ∙ exp((GSI – 100) / (28 - 14D)) (4.1.2)
S = exp((GSI – 100) / (9 - 3D)) (4.1.3)
α = 1/2 + 1/6 ∙ (exp(–GSI/15) – exp(–20/3)) (4.1.4)
где GSI – это геологический индекс прочности (Marinos & Hoek, 2000), принимающий значения от 0 до 100; D – коэффициент, выражающий степень нарушенности горного массива, варьирующуюся от 0 до 1.
Carranza-Torres (2004) представил замкнутое решение для задачи с созданием круглого отверстия в упругопластическом материале с изотропным нагружением. Решение удовлетворяет обобщенному критерию Хука-Брауна (4.1.1). Учитывая упругое идеально-пластическое поведение модели, приведенное напряжения дальнего поля S0 и внут-реннее напряжения Pi, определяются как:
S_0 = (σ_0 / (m_b ^ (1/α – 1) ∙ σ_ci) + (S / m_b ^ (1/α)) (4.1.5)
P_i = (p_i / (m_b ^ (1/α – 1) ∙ σ_ci) + (S / m_b ^ (1/α)) (4.1.6)
Критическое внутреннее напряжение pi_cr – это внутреннее давление, ниже которого развивается пластическая зона с радиусом Rpl. Приведенное критическое внутреннее давление pi_cr рассчитывается из уравнения
μ(Pi_cr)^α + 2Pi_cr – 2S_0 = 0 (4.1.7)
где параметр μ определяется как
μ = m_b^((2α–1)/α) (4.1.8)
Точное решение уравнения (4.1.7) можно аппроксимировать с помощью метода Ньютона-Рафсона или других подобных численных методов. Критическое внутреннее напряжение pi_cr рассчитывается как:
pi_cr = [Pi_cr – s / (m_b^(1/α) )] ∙ m_b^((1–α)/α ) ∙ σ_ci (4.1.9)
А радиус пластической зоны вычисляется по формуле:
R_pl = R ∙ exp[ (Pi_cr ^(1-α) – P_i^(1-α)) / ((1–α) ∙ μ) ] (4.1.10)
На основе уравнения (4.1.10) радиус пластической зоны составляет Rpl_1 = 3,794 м и Rpl_2 = 2,582 м для случая 1 и случая 2 соответственно.
Результаты в SiO 2D
ННиже приводятся результаты, полученные в SiO 2D. Радиусы пластической зоны для двух расчетных случаев равны Rpl_1 = 3,69 м и Rpl_2 = 2,64 м соответственно.
Рис. 4.1.3
Зона пластических деформаций:
слева – для 1 расчётного случая (Rpl_1 = 3,689 м),
справа – для 2 расчётного случая (Rpl_2 = 2,637 м)
Выводы
Сравнение результатов, полученных в SiO 2D и с помощью аналитического решения, приведено в таблице ниже. Теоретические и рассчитанные результаты, полученные в SiO 2D, хорошо сходятся, обеспечивая максимальную относительную погрешность по сравнению с аналитическим решением в 2,8 %.
| Случай | Параметр для сравнения | SiO 2D | Эталонное решение | Относительная погрешность, % | |
| 1 | R, м | 3,689 | 3,794 | 2,8 | |
| 2 | R, м | 2,631 | 2,582 | 2,1 |
Примечание
